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2009年1月28日 (水)

ポアンカレ予想をわかりやすく表現すると…

BShi、ハイビジョン特集「数学者はキノコ狩りの夢を見る~ポアンカレ予想・100年の格闘」を見て、おお、これはいい機会だ、ポアンカレ予想なるものをなんとか理解したいと、例によっていろいろネット検索した暇人である。

ポアンカレ予想をきちんと数学的表現すると「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である」となるが、これでは全く何のことかわからない。そこで、これをもっとくだくと

「3次元物体にかけた輪ゴムを一点に縮めることができるのは(トポロジカルな意味の)球面だけだ」という、子供の遊びみたいな命題だ。しかも、これは4次 元以上では証明されたのに、3次元(といっても多様体だから普通の球体ではない)だけが残されていた。それをウェブサイトに投げたドラフトで証明してし まったのがペレルマンである。←なんと池田信夫blogである。各種方面に造詣・興味が深い方だなあ。

それはともかく、もっとわかりやすくいうと、マゼランは地球一周して地球が球体であることを実証したとされているが、実は地球はドーナツ形かもしれない。つまり、一周でき たからといって球体とは限らないのだ。

しかし、どんなかけ方をされた輪ゴムも一点に縮めることができるのならば(これが単連結という意味)、それは球体しかあり得ないというのがポア ンカレ予想である→やったあ、わかりやすく表現できたぞ。

そして、このポアンカレ予想は幾何化予想「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題の部分命題であり、これを位相幾何学ではなく(なんと)物理・微分幾何学の手法(証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場するとのこと!この証明の概要も素人理解したいのだが無理だろうなア)で解決したのが天才数学者ペレルマンである。

以上、興味を持たれた方はこの番組の類似番組がYouTubeにあったのでご覧あれ。

追記:夕方病防止するべくこの番組を姑に見せている。どこまで理解しているか不明だがじっと見ているなあ。作戦成功!
ちなみに、「ポアンカレ予想」検索継続して「トポロジカル宇宙 完全版―ポアンカレ予想解決への道 」根上生也なる本を発見。俺にも読めそうな本だと判断して図書館にリクエスト済み。下にアマゾン、カスタマーレビューを一部転載しておく。

本書はこのポアンカレ予想とペレルマンの成果を補って「完全版」として改訂されたばかりのトポロジー(位相幾何学)の入門書だ。数式はいっさいでてこない 一般向けに書かれた「超入門書」である。そしてNHKの番組の関連本ではあるがそれに便乗したものではない。なぜなら著者の根上氏はこの番組の監修者でも あるからだ。本の内容もNHKの番組とほとんど重複しない。

更に追記:俺のこの駄文よりもっと高級でわかりやすいポアンカレ予想の解説ブログを発見した。この問題に興味を持った方に必読である。上のカスタマーレビューの筆者のブログと思われる。

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コメント

はじめまして。「とね」と申します。
僕の記事を紹介していただきありがとうございました!うれしいです。
遅まきながらトラックバックを送っていただいているのにも、先ほど気がつきました。よろこんで承認させていただきました。

池田信夫さんもこのテーマで記事を書かれていたのですね!意外でした。派遣村についての記事で僕と反対の意見を述べられていたので、そのとき彼のブログを知りました。

一昨年、BSでポアンカレ予想の番組が放送されてから、何冊か本が出版されています。他のテーマに一段落したら、もう一度位相幾何学や多様体を勉強してみようと思いました。

投稿: とね | 2009年2月 4日 (水) 午後 11時37分

これはこれは。コメントありがとうございます。私も時間があれば数学をきちんと勉強したいとは思ってますが、たぶん果たせないでしょう。根上さんの本も途中挫折してしまいました。根気がなくなる歳です(と、歳のせいにしておきます)。

投稿: 土曜日 | 2009年2月 5日 (木) 午前 03時21分

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